Teorema de Pitágoras

História do Teorema de Pitágoras

• Pitágoras viveu no séc. VI a.C., na Grécia e pensa-se que nasceu na ilha de Samos;
• Diz-se que Pitágoras viajou pelo Egipto e pela Babilónia vindo a fixar-se no sul da Itália (em Crotona) fundando a chamada Escola Pitagórica, onde se estudava Matemática, Filosofia, Música e outras Ciências;
• Foi Pitágoras o primeiro a elevar a ciência dos números e da geometria à categoria das artes maiores e a estabelecer o princípio de que uma proposição científica deve ser totalmente convincente, isto é, verdadeiramente demonstrada;
• Atribuem-se notáveis descobertas a Pitágoras, tais como o sistema de numeração decimal, tabelas de multiplicação e a demonstração do célebre teorema que leva o seu nome;
• Há uma lenda que conta que Pitágoras ofereceu aos deuses mil bois como agradecimento, por ter descoberto a demonstração do referido teorema;
• Os Pitagóricos tinham algumas superstições e para prevenir desgraças usavam o símbolo «pentagrama», nas portas das casas e nos sítios que queriam preservar de maus acontecimentos;
• Este teorema indica que os gregos conseguiram estabelecer uma ligação abstracta entre os números e as figuras, o que representa um importante esforço intelectual. Também prova que tinham aprendido a demonstrar, e não apenas a persuadir, o que representa um considerável salto cognitivo.
• Existem inúmeras demonstrações do teorema

O teorema de Pitágoras já teve muitas demonstrações publicadas.
O livro The Pythagorean Proposition, de Elisha Scott Loomis, por exemplo, contém 370 demonstrações diferentes. Há uma demonstração no livro Os Elementos, de Euclides. E também ofereceram demonstrações, o matemático indiano Bhaskara Akaria, o polímata italiano Leonardo da Vinci, e o vigésimo presidente dos Estados Unidos, James A.
Por comparação de áreas
Não se sabe ao certo qual foi a demonstração utilizada por Pitágoras, entretanto, muitos autores concordam que ela foi feita através da comparação de áreas[carece de fontes?].

Provável forma usada por Pitágoras para demonstrar o teorema que leva seu nome[carece de fontes?].
Desenha-se um quadrado de lado b + a;
Traçam-se dois segmentos paralelos aos lados do quadrado;
Divide-se cada um destes dois retângulos em dois triângulos retos, traçando as diagonais. Chama-se c o comprimento de cada diagonal;
A área da região formada ao retirar os quatro triângulos retos é igual a b2 + a2;
Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado b + a, mas colocamos os quatro triângulos retos noutra posição.
A área da região formada quando se retiram os quatro triângulos retos é igual a c2.
Como b2 + a2 representa a área do quadrado maior subtraída da soma das áreas dos triângulos retângulos, e c2 representa a mesma área, b2 + c2 = a2. Ou seja: num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. O segmento de medida a foi chamado de hipotenusa e os de medida b e c foram chamados de catetos.

Demonstração que utiliza o conceito de semelhança: os triângulos ABC, ACH e CBH têm a mesma forma, diferindo apenas pelas suas posições e tamanhos.
Esta demonstração se baseia na proporcionalidade dos lados de dois triângulos semelhantes, isto é, que a razão entre quaisquer dois lados correspondentes de triângulos semelhantes é a mesma, independentemente do tamanho dos triângulos.
Sendo ABC um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em C, como mostrado na figura. Desenha-se a altura com origem no ponto C, e chama-se H sua intersecção com o lado AB. O ponto H divide o comprimento da hipotenusa, c, nas partes d e e. O novo triângulo, ACH, é semelhante ao triângulo ABC, pois ambos tem um ângulo reto, e eles compartilham o ângulo em A, significando que o terceiro ângulo é o mesmo em ambos os triângulos também, marcado como θ na figura. Seguindo-se um raciocínio parecido, percebe-se que o triângulo CBH também é semelhante à ABC. A semelhança dos triângulos leva à igualdade das razões dos lados correspondentes:

O primeiro resultado é igual ao cosseno de cada ângulo θ e o segundo resultado é igual ao seno.
Estas relações podem ser escritas como:

Somando estas duas igualdades, obtém-se

Animação mostrando outra demonstração por rearranjo.
Uma demonstração por rearranjo é dada pela animação à esquerda. Como a área total e as áreas dos triângulos são constantes, a área preta total é constante também. E a área preta pode ser dividida em quadrados delineados pelos lados a, b, c do triângulo, demonstrando que a2 + b2 = c2.
Na animação à direita, um grande quadrado inicial é formado da área c 2 tornando adjacentes quatro triângulos retângulos idênticos, deixando um pequeno quadrado no centro do grande quadrado, de modo a acomodar a diferença de comprimentos dos lados dos triângulos. Dois retângulos são formados, de lados a e b, movendo-se os triângulos. Incorporando o pequeno quadrado central com um destes retângulos, os dois retângulos são feitos em dois quadrados de áreas a 2 e b 2, mostrando que c 2 = a 2 + b 2.

Imagens:
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Teorema de Pitágoras part.2 -

atualizado: 28/10/2010

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática, ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, medindo 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e é localizada oposta ao ângulo reto. Observe:

Catetos: a e b
Hipotenusa: c



O Teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

a² + b² = c²

Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.



x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² = √225
x = 15


Foi através do Teorema de Pitágoras que os conceitos e as definições de números irracionais começaram a ser introduzidos na Matemática. O primeiro irracional a surgir foi √2, que apareceu ao ser calculada a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 1. Veja:



x² = 1² + 1²
x² = 1 + 1
x² = 2
√x² = √2
x = √2

√2 = 1,414213562373....

Exemplo 2
Calcule o valor do cateto no triângulo retângulo abaixo:



x² + 20² = 25²
x² + 400 = 625
x² = 625 – 400
x² = 225
√x² = √225
x = 15



Exemplo 3
Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:



Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?



Pelo Teorema de Pitágoras temos:

x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)

Conclusão:

chagamos a conclusão de que sem o teorema de pitagoras não consigiriamos fazer quase nada, pois para tudo é necessaria uma conta . . . sem o teorema de pitagoras muita de nossas tecnologias não existiriam.